La función Zeta de Riemann es probablemente una de las más populares y controversiales hoy en día, en gran medida gracias a la famosa hipótesis de Riemann, que posa como uno de los Problemas del Milenio, y cuya resolución implica un premio de un millón de dólares.

Pero dejando de lado la controversia, la función zeta de Riemann resulta un muy bonito caso de estudio para el análisis complejo. Durante el resto de esta entrada me enfocaré únicamente en presentar uno de los infinitos casos en que podemos evaluar la función, en este caso utilizando el número $4$ como argumento.

Para ello nos serviremos de un teorema muy bonito del análisis, con resultados importantes también en el álgebra lineal: el teorema de Plancherel.

Para comprender el resto de la entrada, recomiendo tener conocimientos aunque sean básicos sobre las funciones trigonométricas, sobre números complejos, y métodos de integración. Sin mayor preámbulo comencemos por ver algunas definiciones.


Coeficientes de Fourier.

Los coeficientes de Fourier son elementos importantes de un concepto conocido como series parciales de Fourier. Estos coeficientes nos servirán más adelante para llegar a nuestro resultado. Por el momento no ahondaré más en conceptos como la descomposición de Fourier, sino que nada más definiré los coeficientes de Fourier.

Estos coeficientes siempre vienen en pares, y se definen a partir de una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continua y $2\pi$-periódica. Definimos a los $k$-coeficientes (con $k$ un número entero) de Fourier como:

$$ a_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos (kx) dx $$

$$ b_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin (kx) dx $$

La definición puede resultar un poco intimidante en un comienzo, pero aplicándola más adelante, veremos que es relativamente sencilla.


Teorema de Plancherel.

Enunciaré el teorema, esperando no resulte demasiado intimidante. Sea $f$ una función continua y de periodo $2\pi$. Además, denotaremos los $n$-coeficientes de Fourier para una función como $a_n(f)$ y $b_n(f)$, siguiendo la definición antes dada.

El teorema de Plancherel nos dice que

$$ \dfrac{a_0(f)^2}{2}+\sum_{k=1}^{\infin}\left(a_k(f)^2+b_k(f)^2\right)=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2dx $$

Si bien no hay mucho más que decir sobre la ecuación anterior, sí que nos va a ser de utilidad más adelante. La demostración de que lo anterior en efecto es cierto va más allá del alcance esperado de esta entrada.


Función Zeta de Riemann.

La función zeta de Riemann se define utilizando la letra griega del mismo nombre $\zeta$. Si consideramos el dominio como los números complejos $n$ donde su parte real es mayor que $1$, entonces la definición es:

$$ \zeta(n)=\sum_{k=1}^{\infin}\dfrac{1}{k^n} $$

Lo anterior se puede ver como

$$ \zeta(n)=\dfrac{1}{1^n}+\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3^n}+\cdots $$


Evaluando $\zeta(4)$.

Procederemos a realizar la evaluación de la función $\zeta$ con entrada $4$, para lo cuál utilizaremos todo lo anterior. Primero que nada, necesitamos una función continua y de periodo $2\pi$. Para eso podemos utilizar la función $f:[-\pi, \pi]\to \mathbb{R}$ dada por $f(x)=x^2$. Notemos que es importante definir la función únicamente entre $-\pi$ y $\pi$ para considerarla de periodo $2\pi$.

Para utilizar al teorema de Plancherel, primero necesitamos calcular los coeficientes $a_0(f), a_k(f)$ y $b_k(f)$ como nos pide la ecuación.

El coeficiente $a_k(f)$ está dado por

$$ a_k=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos (kx) dx $$

Realizando la integración por partes podemos llegar a que lo anterior es igual que

$$ a_k(f)=\dfrac{2\pi}{k}\sin(k\pi)+\dfrac{4}{k^2}\cos(k\pi)-\dfrac{4}{\pi k^3}\sin(k\pi) $$

Además, vale la pena notar que $k$ siempre es un número entero. Esto lo vimos atrás, en la definición de los coeficientes de Fourier. Puesto que $k$ es un número entero, y la función $\sin$ siempre nos regresa $0$ cuando la evaluamos en múltiplos de $\pi$, entonces podemos afirmar que $\sin(k\pi)=0$ para cualquier $k \in \mathbb{Z}$. Por lo tanto, nos queda:

$$ a_k(f)=\dfrac{4(-1)^k}{k^2} $$

cuando $k\neq 0$. El caso cuando $k=0$ varía ligeramente, pues la integración nos regresa un valor distinto:

$$ a_0(f)=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(0)dx=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx $$

La integración de lo anterior es trivial, con resultado:

$$ a_0(f)=\dfrac{2\pi^2}{3} $$

Para el coeficiente $b_k(f)$ el proceso es muy similar:

$$ b_k(f)=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin (kx) dx $$

Utilizando integración por partes llegaremos al resultado:

$$ b_k(f)=0 $$

Ahora sí podemos utilizar el Teorema de Plancherel. Primero tomamos el lado izquierdo de la igualdad del Teorema de Plancherel, y sustituimos los coeficientes de Fourier que ya obtuvimos:

$$ \dfrac{\left(\dfrac{2\pi^2}{3}\right)^2}{2}+\sum_{k=1}^{\infin}\left(\left(\dfrac{4(-1)^k}{k^2}\right)^2+0^2\right) $$

Simplificando lo anterior tenemos:

$$ \dfrac{2\pi^4}{9}+\sum_{k=1}^{\infin}\left(\dfrac{16(-1)^{2k}}{k^4}\right) $$

Del lado derecho de la igualdad del Teorema de Plancherel tenemos:

$$ \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(x^2\right)^2dx $$

cuya integración también es trivial y nos dará como resultado

$$ \dfrac{2\pi^4}{5} $$

Juntando los dos lados de la igualdad nos va a quedar

$$ \dfrac{2\pi^4}{9}+\sum_{k=1}^{\infin}\dfrac{16(-1)^{2k}}{k^4}=\dfrac{2\pi^4}{5} $$

Vamos a dejar sola la suma, restando de ambos lados $\frac{2\pi^4}{9}$ para que nos quede:

$$ \sum_{k=1}^{\infin}\dfrac{16(-1)^{2k}}{k^4}=\dfrac{8\pi^4}{45} $$

Podemos dividir ambos lados entre $16$:

$$ \sum_{k=1}^{\infin}\dfrac{(-1)^{2k}}{k^4}=\dfrac{\pi^4}{90} $$

Recordemos que $(-1)^n$ es igual a $1$ siempre que la potencia sea par. Puesto que $2k$ es par, entonces

$$ \sum_{k=1}^{\infin}\dfrac{1}{k^4}=\dfrac{\pi^4}{90} $$

Fácilmente identificamos que el lado izquierdo de la igualdad anterior es $\zeta(4)$. Por lo tanto

$$ \zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90} $$