En mi curso de Álgebra Superior II actualmente estamos viendo ciertos temas fundamentales para la matemática, y evidentemente, para las ciencias de la computación. Algo que he encontrado realmente interesante es el tema de los números primos.

Los números primos son uno de esos enigmas en la Teoría de Números que, a pesar de lo común que son, siguen siendo un misterio para los matemáticos. Pero no es solo eso, es un tema que tiene una cantidad increíble de aplicaciones útiles en múltiples áreas de estudio.

¿Qué es un número primo?

Casi todos tenemos una idea de lo que es un número primo, pues en realidad, es muy sencillo entender lo que es un número primo. Pero solo para estar seguros de que estamos en el mismo canal, damos la definición.

Sea $p \in \mathbb{N}$ tal que $p > 1$. Diremos que $p$ es un número primo si se cumple que $p$ solo puede ser dividido enteramente (es decir, no da ningún residuo) entre $1$ y entre el mismo $p$.

Además, se cumple que $p$ no puede ser descompuesto como el producto de dos números enteros distintos de $p$ y de $1$.

Podemos ver que las definiciones son equivalentes: si un número solo es divisible entre sí mismo y entre $1$, entonces solo puede ser múltiplo de sí mismo (pues $p = 1 \cdot p$) y de $1$.

¿Cuántos números primos existen?

Sin mayor preámbulo, introduzco el tema de este post. ¿Cuántos números primos existen? La respuesta correcta es, infinitos. Y no quiero entrar en dilemas filosóficos con respecto al infinito pues es cierto que es un concepto difícil de comprender. Por más contradictorio que suena el hecho de que en $\mathbb{N}$ (números naturales) que son infinitos, hayan infinitos números primos, a pesar que los elementos en uno y en otro son distintos, es verdad, eso sucede.

A partir de esto podría salir otra entrada hablando un poco más sobre el infinito, pero por el momento dejémoslo así.

Teorema Fundamental de la Aritmética

Antes de continuar a la demostración principal de este post, vamos a recordar un teorema muy importante: el Teorema Fundamental de la Aritmética.

Este teorema, en palabras sencillas, dice:

Todo número entero positivo es el resultado único del producto de números primos.

En otras palabras, todo número se puede ver como la multiplicación de otros números primos.

¿Quieres ver la demostración de este teorema? Te recomiendo revisar mi post: Teorema Fundamental de la Aritmética.

Tengamos presente este teorema, pues más adelante nos será de utilidad.

Lema

Introduzco el siguiente lema:

Si $a \vert b + c$ y $a \vert b$, entonces $a \vert c$.

Sean $a, b, c \in \mathbb{N}$ tal que $a \vert b$ y $a \vert b + c$.

Luego, como $a \vert b$, sabemos que $b = xa$, $x \in \mathbb{N}$. Además, como $a \vert b + c$, sabemos que $b+c=x’a$ con $x’ \in \mathbb{N}$.

Entonces, sucede que $c = x’a-b$. Pero, recordando que $b=xa$, sustituimos y tenemos que $c = x’a-xa$. Factorizamos para obtener que $c = a\left(x’-x\right)$, y queda demostrado que $a \vert c$.

Nos será de utilidad más adelante.

Demostración

Prosigamos a demostrar que existen infinitos números primos. La demostración la haremos por contradicción, es decir, vamos a suponer que existe una cantidad finita de números primos, vemos las implicaciones que eso conlleva, y entonces debemos encontrar una contradicción, para poder afirmar que nuestra hipótesis era incorrecta; es decir, deben existir infinitos primos.

Utilizaremos la siguiente notación: $p_{1}$ es el primer número primo, que sabemos es 2. $p_{2}$ será el segundo número primo, es decir, 3. Y así sucesivamente.

Suponemos que existe una cantidad finita de números primos. Entonces, existe un valor $n \in \mathbb{N}$ para el cuál se cumple que $p_{n}$ es el último número primo, el más grande.

Entonces, crearemos el siguiente conjunto $P$:

$$ P = \lbrace p_{i} \mid i = 1, \dots, n \rbrace $$

El conjunto $P$ simplemente es el conjunto que contiene a todos los números primos. Sabemos que existe y es finito, más precisamente, tiene $n$ elementos, pues solo hay $n$ números primos.

Luego, vamos a crear un número que llamaremos $Q$. El número $Q$ está definido como:

$$ Q = \prod\limits_{p \in P} p $$

Otra manera de definirlo sería:

$$ Q = p_{1} \cdot p_{2} \cdot p_{3} \cdot \dots \cdot p_{n} $$

Lo único que estamos haciendo es multiplicar todos los primos y ese número es $Q$. Sabemos que tal número existe y vive en $\mathbb{N}$ pues es el producto de naturales.

Luego, veamos qué propiedades cumple el número $Q+1$. Hay dos opciones: $Q+1$ es primo, o $Q+1$ no es primo.

Si suponemos que $Q+1$ es primo, entonces llegamos a una contradicción. Porque eso significa que existe un $p_{i}$ que no está en $P$. Entonces, $P$ no es el conjunto que contiene a todos los primos. Ahora, podríamos pensar: “entonces $P \cup \lbrace Q+1 \rbrace$ es el conjunto que contiene a todos los primos”. Eso sería un error, pues podemos realizar el mismo proceso de la demostración y llegamos al mismo resultado.

Ahora veamos qué sucede si suponemos que $Q+1$ no es un número primo, por el teorema fundamental de la aritmética que introdujimos hace un momento, resulta que $Q+1$ debe poder verse como el resultado de multiplicar números primos. Es decir, $Q+1$ es múltiplo de otro número $r$, y $r$ es primo.

Ahora, pensemos en qué implicaciones conlleva lo anterior. Dijimos que $r$ es un número primo, entonces $r \in P$. Recordando que $Q$ es el producto de todos los números primos, sabemos también que $r \vert Q$ (léase $a \vert $ como “a divide a b”).

Tenemos que $r \vert Q$ y $r \vert Q+1$. Aplicando el lema que demostramos antes de comenzar con la prueba de que hay infinitos números primos, tenemos que $r$ debe dividir a 1. ¡Pero eso no es posible! Sabemos que ningún número primo divide a 1 (pues el primo más pequeño es 2).

Llegamos a una contradicción. ¿Cuál fue el problema? ¿Por qué llegamos a una contradicción? Todo nuestro desarrollo fue correcto, y estuvo bien demostrado. Entonces, el único error que pudimos haber cometido fue pensar que existe una cantidad finita de números primos. Por lo tanto, podemos concluir que existen infinitos números primos.

Conclusiones.

En este post realizamos una demostración bastante detallada de que existe una cantidad infinita de números primos. Puede parecer una demostración muy inútil (¿para qué quiero saber que existen tantos números primos?), pero la verdad es que es un resultado de mucha utilidad para muchas áreas.

Pero veamos más allá. No hacemos matemáticas puramente porque nos van a servir en el día a día, sino que el estudio de las matemáticas es bastante interesante en sí mismo para quien se atreve a analizarlo pacientemente. Y hoy, ya conoces un concepto más, una verdad universal.