Presento la demostración de que el anillo $\mathbb{Z}_{p}$ es un campo si y solo si $p$ es un número primo. Primero pretendo introducir algo de notación y algunos conceptos que nos ayudarán a alcanzar el resultado esperado; si deseas solo ver la demostración puedes dirigirte a la última sección de este post.

Anillo de los enteros módulo $\thinspace n$

El anillo de los enteros módulo $n$ (utilizo $n$ en vez de $p$ para evitar confusiones, pues $n \in \mathbb{N}$, no necesariamente es un primo) suele escribirse con alguna de las siguientes notaciones:

  • $ \mathbb{Z}_{n} $
  • $ \mathbb{Z} / n\mathbb{Z} $
  • $ \left(\mathbb{Z}, +, \times\right) $

Pero, recordemos qué significa ser un anillo. Diremos que un conjunto $A$ es un anillo si cumple lo siguiente:

  • Tiene una operación de adición, generalmente denotada por $+$ que cumple:
    • Es conmutativa.
    • Es asociativa.
    • Tiene neutro aditivo.
    • Tiene inversos aditivos.
    • Es cerrada, es decir, el resultado de aplicar la operación a cualesquiera dos elementos en $A$, también se encuentra en $A$.
  • Tiene una operación producto, generalmente denotada por $\times$ que cumple:
    • Es conmutativa.
    • Es asociativa.
    • Tiene neutro.
    • Es cerrada, es decir el resultado de aplicar el producto a dos elementos del conjunto $A$ se encuentra en $A$.
  • El producto $\times$ se distribuye con respecto a la adición $+$.

No me dedicaré a demostrar que el anillo de los enteros módulo $n$ cumple con todo lo anterior, pero supongamos que es cierto (después de todo, ¿por algo se llama anillo, no?). Y en realidad no es algo difícil de demostrar, solo es necesario considerar algunas definiciones y desarrollar un poco.

Pero, ¿cómo luce el anillo de los enteros módulo $n$?

Recordemos que en aritmética modular, decimos que el anillo de los enteros módulo $n$ son las clases de equivalencia que surgen a partir de la operación de congruencia con módulo $n$.

Aunque es algo muy simple de captar para alguien que ha sido expuesto al álgebra abstracta, estamos mencionando muchos conceptos que no cualquiera conoce, entonces usaremos una idea mucho más intuitiva.

Cuando hacemos una división entre un número entero (-123, -4, 5, 89, o cualquier otro que no tenga decimales) siempre obtenemos el resultado de la división, y un residuo. Tomemos el ejemplo del número 5. Podemos dividir cualquier número entero entre 5, y siempre nos va a dar otro número, y su residuo. Intentemos dividir 48 entre 5: $$ 48 = 5 \cdot 9 + 3 $$

Obtenemos el resultado 9 como el cociente, y el residuo de 3. Si hacemos esto para cualquier otro número y nos fijamos solo en el residuo, tenemos que todos los números nos van a dar un residuo entre 0 y 4.

Generalicemos lo anterior. Para un número $n$, al dividir a otro número $m$, ambos enteros, el residuo al dividir $m$ entre $n$ va a ser un número $r$ entre 0 y $n-1$.

Ya que tenemos lo anterior, podemos describir $\mathbb{Z}_{p}$ como: $$ \lbrace 0, 1, 2, \dots , n-1 \rbrace $$

Lo anterior es una forma simple de ponerlo, pues en realidad estamos tratando con clases de equivalencia, no con los números tal cuál, pero lo ponemos así para tener la idea intuitiva.

Y con eso, podemos describir el anillo de los enteros módulo $p$ donde $p$ es un número primo, simplemente son los posibles residuos que existen al dividir entre $p$.

Campo.

Ya que vimos lo que es un anillo en álgebra abstracta, podemos dar la definición de un campo. Un campo $\left(A, +, \times\right)$ es un conjunto para el cuál tenemos definida la suma y el producto (al igual que en los anillos) con la única diferencia de que el campo tiene inversos multiplicativos.

Es decir, para todo número $a$ en el conjunto $A$, existe otro número $b \in A$ tal que $$a \times b = b \times a = 1$$

En nuestra demostración principal, queremos demostrar que esto se cumple para el anillo $\mathbb{Z}_{p}$, lo que implicaría que es un campo. Pero antes de eso, tenemos que introducir un último concepto.

Identidad de Bézout

La identidad de Bézout es un teorema que nos dice lo siguiente. Sean $a, b \in \mathbb{Z}$ tal que $a \neq 0$ y $b \neq 0$. Además, diremos que el máximo común divisor entre esos números es $m = mcd\left(a, b\right)$. El teorema de Bézout afirma que: $$ \exists x, y \in \mathbb{Z}, ax + by = m $$

Es decir, si el máximo común divisor de $a$ y $b$ es $m$, podemos ver a $m$ como la suma de un múltiplo de esos números.

No realizaré la demostración en este post, pero tengo la intención de publicarla en un futuro, y entonces enlazaré a esa página. No obstante, este teorema nos será de mucha utilidad para la demostración principal.

Demostración.

Con la introducción anterior, podemos proceder a ver la demostración principal: $\mathbb{Z}_{p}$ es un campo si y solo si $p$ es un número primo.

Para realizar esta demostración, debemos ver que se cumplan ambas implicaciones:

  • Si $p$ es un número primo, entonces $\mathbb{Z}_{p}$ es un campo, y
  • Si $\mathbb{Z}_{p}$ es un campo, entonces $p$ es un número primo.

Si $\thinspace p\thinspace$ es un número primo, entonces $\thinspace\mathbb{Z}_{p} \thinspace$ es un campo.

Sea $p$ un número primo. Además, sea $n \in \mathbb{Z}_{p}$, tal que $n \not\equiv 0 (\text{mod } p)$. Como $n$ no es congruente con 0 módulo p, sabemos que $n$ no es un múltiplo de $p$ (pues el residuo de dividir un múltiplo de $p$ entre $p$ es 0).

Además, sabemos que el máximo común divisor entre $p$ y $n$ es 1, pues los números primos solo se dividen entre 1, entre si mismos y los negativos.

Por lo tanto, la identidad de Bézout nos dice que existen $x$ y $y$ tal que: $$ ax + py = 1 $$

Por otro lado, tenemos que $py \equiv 0 (\text{mod }p)$ pues $py$ es un múltiplo de $p$. Por lo tanto: $$ ax \equiv 1 $$

Y con eso queda demostrado. Tenemos que para el número $a$ en el anillo módulo $p$, existe $x$ módulo $p$ donde el producto $a \times x$ es congruente con 1, cumpliéndose la definición de campo.

Si $\thinspace \mathbb{Z}_{p}\thinspace$ es un campo, entonces $\thinspace p\thinspace$ es un número primo.

Supongamos que $p$ no es un número primo, a manera de contradicción. Entonces sabemos que $p$ es el resultado del producto de otros dos números $a$ y $b$ distintos de 0. $$ p = ab $$

Sabemos que $p$ es congruente con 0 módulo $p$, pues $p$ es múltiplo de sí mismo. $$ 0 \equiv p $$

Lo que implica que $ 0 \equiv ab $.

Como $\mathbb{Z}_{p}$ es un campo, existe $c$ tal que $ac \equiv 1$. Se sigue que $acb \equiv 1b \equiv b$. Pero por otro lado, dijimos que $ab \equiv 0$, entonces $acb \equiv c \cdot 0$. De ambas proposiciones tenemos que: $$ b \equiv 1 \cdot b \equiv acb \equiv abc \equiv 0 \cdot c \equiv 0 (\text{mod }p) $$

Si $b \equiv 0$ y $b < p$, entonces $b = 0$. Pero eso es una contradicción, pues habíamos dicho antes que $b \neq 0$.

La contradicción vino de suponer que $\mathbb{Z}_{p}$ era un campo cuando $p$ no era primo.

De las demostraciones anteriores, concluimos que $\mathbb{Z}_{p}$ es campo si y solo si $p$ es un número primo.